Относительная ошибка геодезия

Тема: Элементы теории ошибок измерений

Относительная ошибка геодезия

_______Измерения в геодезии рассматриваются с двух точек зрения: количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной, характеризующейее точность.

Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых результатов.

Это указывает нато, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Значение отклонения характеризует точность измерений.

_______При геодезических измерениях неизбежны ошибки. Эти ошибки бывают грубые,систематические и случайные.

_______ К грубым ошибкам относятся просчеты в измерениях по причине невнимательности наблюдателя или неисправности прибора, и они полностью должны быть исключены. Это достигается путем повторного измерения.

_______Систематические ошибки происходят от известного источника, имеют определенный знак и величину и их можно учесть при измерениях и вычислениях.

_______Случайные ошибки обусловлены разными причинами и полностью исключить их из измерений нельзя. Поэтому возникают две задачи: как из результатов измерений получить наиболее точную величину и как оценить точность полученных результатов измерений. Эти задачи решаются с помощью теории ошибок измерений_______

_______В основу теории ошибок положены следующие свойства случайных ошибок:
_______1. Малые ошибки встречаются чаще, а большие реже.
_______2. Ошибки не превышают известного предела.
_______3.

Положительные и отрицательные ошибки, одинаковые по абсолютной величине, одинаково часто встречаются.
_______4. Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при большом числеизмерений.

_______По источнику происхождения различают ошибки приборов, внешние и личные. Ошибки приборов обусловлены их несовершенством, например погрешность угла, измеренного теодолитом, неточным приведением в вертикальное положение оси его вращения.

_______Внешние ошибки происходят из-за влияния внешней среды, в которой протекают измерения, например погрешность в отсчете по нивелирной рейке из-за изменения температуры воздуха на пути светового луча (рефракция) или нагрева нивелира солнечными лучами.

_______Личные ошибки связаны с особенностями наблюдателя, например, разные наблюдатели по-разному наводят зрительную трубу на визирную цель.

Так как грубые погрешности должны быть исключены из результатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необходимой точностью и оценку результатов выполненных измерений производят, основываясь на свойствах случайных погрешностей.

2. Арифметическая середина

_______Если одна величина измерена n раз и получены результаты: l1, l2, l3, l4, l5, l6,….., ln, то

_______Величина x называется арифметической серединой или вероятнейшим значением измеренной величины. Разности между каждым измерением и арифметической срединой называют вероятнейшими ошибками измерений:

_______Или в общем виде получим:

[ l ] – n x x = [v] (3)

_______Тогда

[v] = 0

3. Средняя квадратическая ошибка

_______Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле:

где [v2] – сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений. Средняя квадратическая ошибка арифметической середины вычисляется по формуле:

_______Предельная ошибка не должна превышать утроенной средней квадратической ошибки, т.е. ε = 3 x m.

_______Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной ошибки.___

_______Относительной ошибкой называется отношение абсолютной ошибки к значению самой измеренной величины. Относительную ошибку выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешностьизмерения линии длиной:

_______l = 110 м, при m = 2 см, равна m/l = 1/5500.

_______Пример:

_______Линия измерена шесть раз. Определить ее вероятнейшую длину и оценить точность этого результата. Вычисления приведены в таблице:

Таб. 1

_______По формулам вычислены абсолютные средние квадратические ошибки, а оценивать точность измерения длины линии необходимо по относительной ошибке. Поэтому нужно абсолютную ошибку разделить на длину линии. Для нашего примера относительнаяошибка вероятнейшего значения измеренной линии равна

4. Оценка точности измерений

_______Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности:

_______1. Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение измеренной величины по формуле арифметической середины х = [l]/n.
_______2. Вычисляют отклонения для каждого значения измеренной величины от значения арифметической средины. Контроль вычислений: [v] = 0;
_______3.

По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку одного измерения.
_______4. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку арифметической средины.
_______5.

Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную среднюю квадратическую ошибку каждого измерения и арифметической средины.

_______6. При необходимости подсчитывают предельную ошибку одного измерения, которая может служить допустимым значением погрешностей аналогичных измерений.

5. Понятие о неравноточных измерениях

_______Неравноточными измерениями называются такие, которые выполнены различным числом приемов, приборами различной точности и т.д. Если измерения неодинаковой точности, то для определения общей арифметической середины пользуются формулой:

где p1, p2, p3, ……..pn – соответствующие веса неравноточных измерений l1, l2, l3,……. l n

________Весом называется число, которое выражает степень доверия к результату измерения. В тех случаях, когда неизвестны веса измеренных величин, а известны их средние квадратические ошибки, то веса можно вычислить по формуле:

т.е. вес результата измерений обратно пропорционален квадрату средней квадратической ошибки._______При неравноточных измерениях средняя квадратическая ошибка измерения, вескоторого равен единице, определяется по формуле:

где δ – разность между отдельными результатами измерений и общей арифметической серединой.

 

   Инструкция по прохождению теста

  • Выберите один из вариантов в каждом из 10 вопросов;
  • Нажмите на кнопку “Показать результат”;
  • Скрипт не покажет результат, пока Вы не ответите на все вопросы;
  • Загляните в окно рядом с номером задания. Если ответ правильный, то там (+). Если Вы ошиблись, там (-).
  • За каждый правильный ответ начисляется 1 балл;
  • Оценки: менее 5 баллов – НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО, от 5 но менее 7.5 – УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО, 7.5 и менее 10 – ХОРОШО, 10 – ОТЛИЧНО;
  • Чтобы сбросить результат тестирования, нажать кнопку “Сбросить ответы”;

Источник: http://geo-s.sibstrin.ru/lec/lec3/lec.html

10. Теория ошибок измерений в геодезии

Относительная ошибка геодезия

10.1. Общие понятия об измерениях

Сравнение какой-либо величины с другой однородной величиной, принятой за единицу, называют измерением, а полученное при этом числовое значение –результатом измерения.

Различают измерения прямые (непосредственные) и косвенные. Основное уравнение прямого измерения

λ = N ∙ K

где λ – результат измерения; К – значение величины, принятой за единицу измерения (сравнение); N – отвлеченное число, показывающее во сколько раз λбольше N.

Косвенные измерения – такие измерения, которые получают по формулам, связывающим значения измеренных физических величин со значениями других физических величин, полученных из прямых измерений и являющихся аргументами этих формул.

Уравнение косвенного измерения

λ= f (λ1,λ2,λ3,…,λn).

10.2. Ошибки измерений

Процесс измерений протекает во времени и определенных условиях, в нём участвуют объект измерения, измерительный прибор, наблюдатель и среда, в которой выполняют измерения.

В связи с этим на результаты измерений влияют качество измерительных приборов, квалификация наблюдателя, состояние измеряемого объекта и изменения среды во времени.

При многократном измерении одной и той же величины из-за влияния перечисленных факторов результаты измерений могут отличаться друг от друга и не совпадать со значением измеряемой величины. Разность между результатом измерения и действительным значением измеряемой величины называется ошибкой результата измерения.

По характеру и свойствам ошибки подразделяют на:

  • грубые;
  • систематические;
  • случайные.

Грубые ошибки или просчеты легко обнаружить при повторных измерениях или при внимательном отношении к измерениям.

Систематические ошибки – те, которые действуют по определенным законам и сохраняют один и тот же знак. Систематические ошибки можно учесть в результатах измерений, если найти функциональную зависимость и с её помощью исключить ошибку или уменьшить её до малой величины.

Случайные ошибки – результат действия нескольких причин. Величина случайной ошибки зависит от того, кто измеряеткаким методом и в каких условиях.

Случайными эти ошибки называются потому, что каждый из факторов действует случайно. Их нельзя устранить, но уменьшить влияние можно увеличением числа измерений

10.3. Свойства случайных ошибок измерений

Теория ошибок изучает только случайные ошибки. Под случайной ошибкой здесь и далее будем понимать разность

Δi =  Х – ℓi

где Δi – истинная случайная ошибка; Х – истинная величина; ℓi – измеренная величина.

Случайные ошибки имеют следующие свойства:

1. Чем меньше по абсолютной величине случайная ошибка, тем она чаще встречается при измерениях.

2. Одинаковые по абсолютной величине случайные ошибки одинаково часто встречаются при измерениях.

3. При данных условиях измерений величина случайной погрешности по абсолютной величине не превосходит некоторого предела. Под данными условиями подразумевается один и тот же прибор, один и тот же наблюдатель, одни и те же параметры внешней среды. Такие измерения называют равноточными.

4. Среднее арифметическое из случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений.

Три первых свойства случайных ошибок достаточно очевидны. Четвертое свойство вытекает из второго.

Если Δ1,Δ2,Δ3,…,Δn – случайные ошибки отдельных измерений, где n – число измерений, то четвертое свойство случайных ошибок математически выражается

Предел этого отношения будет равен нулю, потому что в числителе сумма случайных ошибок будет конечной величиной, так как положительные и отрицательные случайные ошибки при сложении будут компенсироваться.

Чтобы запись была компактной, Гаусс предложил сумму записывать символом

 ,

тогда

10.4. Оценка точности результатов измерений

Под точностью измерений понимается степень близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Точность результата измерений зависит от условий измерений.

Для равноточных результатов измерений мерой точности является средняя квадратическая ошибка m, определяемая по формуле Гаусса:

 .

Средняя квадратическая ошибка обладает устойчивостью при небольшом числе измерений.

Предельная ошибка.

Вследствие третьего свойства случайные ошибки, превышающие по абсолютной величине значение 2m, встречаются редко (5 на 100 измерений). Еще реже погрешности больше 3m(3 из 1000 измерений). Поэтому утроенную погрешность называют предельной ошибкой

Для особо точных измерений в качестве предельной ошибки принимают

Все вышеперечисленные ошибки называют абсолютными. В геодезии в качестве специальных характеристик точности измерений используется относительная ошибка – отношение абсолютной ошибки к среднему значению измеряемой величины, которое выражается в виде простой дроби с единицей в числителе, например

10.5. Средняя квадратическая ошибка функции общего вида

В большинстве случаев геодезические измерения выполняют с целью определения значения других величин, связанных с измеряемой функциональной зависимостью.

Например:

D = К · n ;

h = З – П ;

h = S · tgν.

Для суждения о получаемой при этом точности необходимо определить среднюю квадратическую ошибку функции по средним квадратическим ошибкам исходных величин, которые в свою очередь, могут являться результатами измерений или функциями результатов измерений.

Пусть  u = f(X,Y,Z) есть некоторая функция независимых величин X, Y, Z, измеренных или вычисленных со средними квадратическими ошибками mx, my, mz.

Продифференцируем функцию по всем переменным и получим

.

В этой формуле бесконечно малые приращения – дифференциалы – заменим истинными ошибками. Получим выражение

,

где ΔX, ΔY, ΔZ – истинные ошибки.

Перейдем от истинных ошибок к средним квадратическим ошибкам. Для этого положим, что X, Y, Z измерено n раз, где можно считать  . Соответственно числу измерений составляем n равенств

Возведем каждое из равенств в квадрат, сложим и разделим на n

А так как           и т.д.,

то

 где    представляют собой частные производные данной функции, вычисленные для соответствующих значений аргументов.

10.6. Математическая обработка результатов равноточных измерений

Среднее арифметическое (арифметическая средина). Если имеется ряд результатов равноточных измерений ℓ1,ℓ2,…,ℓn одной и той же величины Х, то нет оснований отдавать предпочтение какому – либо из этих значений. В этом случае за окончательное значение Х принимают величину, вычисленную как среднее арифметическое из всех результатов:

Случайные ошибки получают как

Сложив левые и правые части этих равенств, получим

Отсюда;

,

На основании четвертого свойства при

Следовательно, при большом числе измерений среднее арифметическое равно истинному значению Х. Это и позволяет использовать среднее арифметическое в качестве окончательного результата выполненных измерений. Иначе его называют вероятнейшим значением измеренной величины.

Контроль вычисления среднего арифметического осуществляется по вероятнейшим ошибкам δ.

Сложив уравнения , получим  .

Это свойство вероятнейших ошибок позволяет контролировать правильность вычисления арифметической средины.

Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического. Для вычисления средней квадратической ошибки М арифметической средины пользуются формулой

из которой следует, что средняя квадратическая ошибка арифметической средины в раз меньше средней квадратической ошибки отдельного измерения.

Средние квадратические ошибки, выраженные через вероятнейшие ошибки.

Используя уклонения (вероятнейшие ошибки) , вычисляют среднюю квадратическую ошибку уклонения m одного измерения по формуле Басселя

Среднее квадратическое уклонение М арифметической средины в этом случае вычисляют по формуле

10.7. Неравноточные измерения. Понятие о весе измерения. Формула общей арифметической средины или весового среднего

Если измерения выполнялись не в одинаковых условиях, то результаты нельзя считать одинаково надежными. Такие измерения называют неравноточными. Например, один и тот же угол можно измерить точным и техническим теодолитом. Результаты данных измерений будут неравноточными.

Мерой сравнения результатов при неравноточных измерениях, т.е. мерой относительной ценности полученных неравноточных результатов является вес результата измерения.

Вес выражает как бы степень доверия, оказываемого данному результату по сравнению с другими результатами.

Чем надежнее результат, тем больше его вес. Вес определяется как величина обратная квадрату средней квадратической ошибки

Если, например, имеется два неравноточных значения длины линии 220,35 ± 0,1 м, 220,35 ± 0,2 м, то в качестве весов Р1 и Р2  могут быть приняты числа:

Веса можно умножать или делить, но на одно и тоже число. Разделив вычисленные в примере веса на 25, получим р1 = 4 и р2 = 1.

Так как р1 > р2 , то первое измерение более точное.

Допустим имеется ряд равноточных результатов измерений  , для которых рассчитаны средняя квадратическая ошибка m, среднее арифметическое ряда измеренийи средняя квадратическая ошибка М. На основании определения веса, весом p отдельного измерения и весом арифметической средины P будут

Умножив веса на  m 2    , имеют Р = 1,  Р = n , следовательно, вес арифметической средины больше веса отдельного измерения в n раз, n – число измерений, из которых вычислена данная арифметическая средина.

Иначе, весом результата измерения называется число равноточных измерений, из которых получен данный неравноточный результат измерения как среднее арифметическое.

Рассмотрим вывод формулы общей арифметической средины или весового среднего.

Пусть величина имеет ряд равноточных измерений:

Р1 , Р2 …..  Рк ,   – не одинаковое число измерений. Так как измерения равноточные, то для получения вероятнейшего значения, необходимо образовать из всех результатов измерений среднее арифметическое

Разбив теперь рассматриваемый ряд равноточных измерений на к групп, образуем средние арифметические по группам L' , L'' …..  L(к) . Полученные арифметические средние можно рассматривать как новые результаты измерений той же величины, но уже неравноточные.

Таким образом, вместо первоначального ряда равноточных измерений для некоторой величины мы получили новый ряд неравноточных измерений L' , L'' …..  L(к) , с весами Р1 , Р2 …..  Рк .

По данным неравноточным измерениям арифметическое среднее ℓp определяют по формуле

Полученное значение называется общей арифметической срединой или весовым средним.

Общая арифметическая средина из данных неравноточных измерений равна сумме произведений каждого измерения на его вес, разделенной на сумму весов. Она является вероятнейшим значением измеряемой величины.

Аналогично тому, как при равноточных измерениях, для оценки точности отдельного результата и арифметической средины, при оценке неравноточных измерений определяют среднюю квадратическую ошибку единицы веса

и среднюю квадратическую ошибку весового среднего

где – уклонения отдельных результатов измерений от общей арифметической средины. Для контроля правильности вычислений используется свойство

Для контроля правильности вычислений используется свойство

.

10.8. Вопросы для самоконтроля

 1. Что называется измерением?

2. Что такое грубые, систематические и случайные ошибки?

3. Какие измерения называются равноточными, а какие – неравноточными?

4. Каковы основные свойства случайных ошибок измерений?

5. Как определяют вероятнейшее значение измеренной величины при равноточных и неравноточных измерениях?

 6. Что называется предельной, абсолютной и относительной ошибками?

7. Как определяют среднюю квадратическую ошибку функции общего вида?

8. Что такое вес измерения?

Источник: https://olymp.in/news/10-teoriya-oshibok-izmerenij-v-geodezii/751

Презентация на тему: Относительная ошибка

Относительная ошибка геодезия

В практике геодезических измерений о точности измерений судят не только по абсолютной величине средней квадратической или предельной

погрешности, но и по величине относительной погрешности.

Относительной ошибкой называется отношение абсолютной ошибки к значению самой измеренной величины.

Относительную ошибку выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух – трех значащих цифр с нулями.

отн = тl /l =1/(l / тl ), где l – значение измеряемой величины.

Относительная предельная ошибка:

отн. пр. = пр / l, где пр = 2(3)m

Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной l = 110 м при тl = 2 см равна тl /l = 1/5500, а

относительная предельная погрешность при пр = 3m = 6 см,пр /l=
1/1800.

Пример. Длина линии местности измерена шесть раз. Требуется определить вероятнейшее значение длины линии и оценить точность выполненных измерений. Результаты измерений и вычислений записывают по форме, приведенной в таблице

№ п/пl, м, см2 ,см2Вычисления
1121,75-11
2121,81+525
3121,77+ 11
4121,70-636
5121,73-39

6121,79 +3 9

Среднее 121,76 Σ =-1Σ =
значени81=12см
епр

Для производства топографической съемки создается геодезическое съемочное обоснование в виде закрепленных на местности пунктов, координаты которых определены из геодезических линейно-угловых построений (сети триангуляции, теодолитные, тахеометрические, мензульные ходы, геодезические засечки). Высоты точек съемочных сетей определяются тригонометрическим или геометрическим нивелированием.

Съемочное обоснование развивается от пунктов опорной геодезической сети более высокого класса путем сгущения геодезической основы до плотности, обеспечивающей выполнение топографической съемки.

Самый распространенный вид съемочного планового обоснования – теодолитные ходы, опирающиеся на один или два исходных пункта.

Теодолитные ходы привязываются к пунктам опорной геодезической сети. Это выполняется для того, чтобы вершины теодолитных ходов были определены в существующей системе координат. Привязка выполняется различными способами. В результате ее выполнения на стороны и вершины теодолитного хода должны быть переданы дирекционный угол и координаты x, y.

Теодолитный ход не привязанный к пунктам опорной геодезической сети, носит название свободного, привязанный лишь в начальной точке – висячим.

Исходными данными в теодолитном ходе являются координаты XA, YA пункта A и дирекционный угол αBA линии BA, который называется начальным

исходным дирекционным углом; этот угол может задаваться неявно через координаты пункта B, путем решения обратной геодезической задачи.

Измеряемые величины – это горизонтальные углы β1, β2,…, βn-1, βn и расстояния S1, S2,…, Sn-1, Sn.

Дирекционные углы сторон хода вычисляют последовательно по формулам передачи дирекционного угла через угол поворота.

Координаты пунктов хода получают из решения прямой геодезичеcкой задачи сначала от пункта A к пункту 2, затем от пункта 2 к пункту 3 и так далее до конца хода.

Дано:

координаты точки А (ХА ;YА ),

дирекционный угол направления АВ (αАВ),

горизонтальная проекция направления АВ (dАВ ).

Найти: координаты точки В (хВ уВ).

Решение:

Δх=± dАВ·cos rАВ= dАВ·cos αАВ;

Δу=± dАВ·sinrАВ= dАВ·sin αАВ.

Контроль вычисления приращений координат: d АВ 2 2

Координаты искомой точки В определяются по формулам:

хВ=хА+Δх; уВ=уА+Δу.

Дано:

Координаты точек А (ХА ;YА ), В (ХВ; YВ).

Найти:

дирекционный угол направления АВ (αАВ),

горизонтальную проекцию направления АВ (dАВ ).

Решение:
ΔХ = ХВ – ХА;ΔY = YВ – YА.

По найденным значениям приращений координат ΔХ и ΔY в прямоугольном

треугольнике, вычисляют табличный угол
(румб):tgr
отсюдаr arctg

Зная дирекционный. угол направления и приращения координат, определяют горизонтальную проекцию направления:

d АВd АВd АВ 2 . 2
;;
sin АВ
cos АВ

В общем виде:

n n 1 180 прn n 1 180 л

180 л

В разомкнутом теодолитном ходе должны выполняться три условия: условие дирекционных углов и два координатных условия.

Вычислим последовательно дирекционные углы всех сторон хода,

используя формулу передачи дирекционного угла на последующую сторону хода: n n 1 180 пр или n n 1 .

Математическая запись условия дирекционных углов в разомкнутом теодолитном ходе для левых углов поворота:

(1)

Для правых углов поворота оно запишется так:

(2)

где αн , αк – дирекционные углы начальной и конечной выходных сторон,

между которыми прокладывается ход, n – число углов хода, включая

примычные.

Сумма углов, подсчитанная по формулам (1) и (2), называется теоретической суммой углов хода. Сумма измеренных углов вследствие

ошибок измерений, как правило, отличается от теоретической суммы на некоторую величину, называемую угловой невязкой и обозначаемую fβ:

(3)

f доп 2 m.
Допустимое значение угловой невязки:n(4)
где n – число углов хода.
Для теодолитных ходов mβ = 30″, поэтому:(5)
f доп 1 n.

Присутствие ошибок в результатах измерений является причиной возникновения задачи уравнивания. Целью уравнивания является устранение невязок и повышение точности всех измеренных величин.

Обозначим поправку в измеренный угол Vβ и запишем условие:

откуда следует, что сумма угловых поправок равна угловой невязке с противоположным

знаком:V f .(7)
При условии, что поправки в измеренные углы одинаковы,решение уравнения (7)
получается в виде:V f / n.
Исправленные значения углов вычисляются по формуле:
i i(изм) V .(8)

По исправленным углам поворота вычисляют дирекционные углы всех сторон хода; совпадение вычисленного и заданного значений конечного исходного дирекционного угла является контролем правильности обработки угловых измерений.

Координатные условия. Решая последовательно прямую геодезическую задачу, вычислим приращения координат по каждой стороне хода ΔXi и ΔYi :

Xвыч d cos d cos r(9)
Yвыч d sin d sin r(10)
где r – румб соответствующего дирекционного угла.X n X n 1 X
Координаты пунктов хода получим по формулам :(11)
Для конечной точки хода: Xкон Xнач XiYn Yn 1 Y(12)
(13)
илиXi Xкон Xнач .(14)

Аналогичная формула для суммы приращений ΔY имеет вид:

i кон нач . (15)

Получились еще два условия (14) и (15), которые называются координатными. Суммы приращений координат, подсчитанные по этим формулам, называются теоретическими суммами приращений. Вследствие ошибок измерения сторон суммы вычисленных приращений координат в общем случае не будут равны теоретическим суммам.

Источник: https://studfile.net/preview/4414910/page:2/

Погрешности геодезических измерений (теория и решение задач)

Относительная ошибка геодезия

Геодезическое измерение, результат измерения, методы и условия измерений. Равноточные и неравноточные измерения

Измерением называется процесс сравнения некоторой физической величины с другой одноименной величиной, принятой за единицу меры.

Единица меры – значение физической величины, принятой для количественной оценки величины того же рода.

Результат измерений – это число, равное отношению измеряемой величины единицы меры.

Различают следующие виды геодезических измерений:

1. Линейные, в результате, которых получают наклонные иррациональные расстояния между заданными точками. Для этой цели применяют ленты, рулетки, проволоки, оптические свето- и радиодальномеры.

2. Угловые, определяющие величины горизонтальных углов. Для выполнения таких измерений применяют теодолит, буссоли, эклиметры.

3. Высотные, в результате, которых получают разности высот отдельных точек. Для этой цели применяют нивелиры, теодолиты-тахеометры, барометры.

Различают два метода геодезических измерений: непосредственные и посредственные (косвенные).

Непосредственные – измерения, при которых определяемые величины получают в результате непосредственного сравнения с единицей измерения.

Косвенные – измерения, при которых определяемые величины получаются как функции других непосредственно измеренных величин.

Процесс измерения включает:

· Объект – свойства которого, например, размер характеризуют результат измерения.

· Техническое средство – получать результат в заданных единицах.

· Метод измерений – обусловлен теорией практических действий и приёмов технических средств.

· Исполнитель измерений – регистрирующее устройство.

· Внешняя среда, в которой происходит процесс измерений.

Совокупность этих элементов, взаимодействуя между собой, образуют условия измерений, которые определяют окончательный результат и его точность. Если измерения происходят в одних и тех же условиях, то их результат называется равноточным. Если хотя бы один из элементов, составляющий совокупность, меняется, то результат измерений неравноточный.

Классификация погрешностей геодезических измерений.

Средняя квадратическая погрешность.

Формулы Гаусса и Бесселя для ее вычисления

Геодезические измерения, выполняемые даже в очень хороших условиях, сопровождаются погрешностями, т.е. отклонением результата измерений L от истинного значения Х нумеруемой величины:

? = L-X

Истинное – такое значение измеряемой величины, которое идеальным образом отражало бы количественные свойства объекта. Истинное значение – это понятие гипотетическое, в реальности его достичь невозможно. Это величина, к которой можно приближаться бесконечно близко.

Точность измерений – степень приближения его результата к истинному значению. Чем ниже погрешность, тем выше точность.

Погрешности бывают следующих видов:

Абсолютная погрешность выражается разностью значения, полученного в результате измерения и истинного измерения величины. Например, истинное значение l = 100 м, однако, при измерении этой же линии получен результат 100,05 м, тогда абсолютная погрешность:

E = Xизм – X

E = 100,05 – 100 = 0,05 (м)

Чтобы получить значение достаточно произвести одно измерение. Его называют необходимым, но чаще одним измерением не ограничиваются, а повторяют не менее двух раз. Измерения, которые делают сверх необходимого, называют избыточными (добавочными), они являются весьма важным средством контроля результата измерения.

Абсолютная погрешность не даёт представления о точности полученного результата. Например, погрешность в 0,06 м может быть получена при измерении l = 100 м или l = 1000 м. Поэтому вычисляют относительную погрешность:

C = Eср / X

C = 0,06 / 100 = 1/1667, т.е на 1667 м измеряемой величины допущена погрешность в 1 метр.

Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к истинному или измеренному значению. Выражают дробью. По инструкции линия местности должна быть измерена не грубее 1/1000.

Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Погрешность обобщенная (Е)– это сумма элементарных.

Возникают:

· грубые (Q),

· систематические (O),

· случайные (?).

Грубые погрешности измерений возникают в результате грубых промахов, просчётов исполнителя, его невнимательности, незамеченных неисправностях технических средств. Грубые погрешности совершенно недопустимы и должны быть полностью исключены из результатов измерений путем проведения повторных, дополнительных измерений.

Систематические погрешности измерений – постоянная составляющая, связанная с дефектами: зрение, неисправность технических средств, температура. Систематические погрешности могут быть как одностороннего действия, так и переменного (периодические погрешности). Их стремятся по возможности учесть или исключить из результатов измерений при организации и проведении работ.

Случайные погрешности измерений неизбежно сопутствуют всем измерениям. Погрешности случайные исключить нельзя, но можно ослабить их влияние на искомый результат за счет проведения дополнительных измерений. Это самые коварные погрешности, сопутствующие всем измерениям. Они могут быть разные как по величине, так и по знаку.

E = Q + O +?

Если грубые и систематические погрешности могут быть изучены и исключены из результата измерений, то случайные могут быть учтены на основе глубокого измерения. Изучение на основе теории вероятностей.

На практике сложность заключается в том, что измерения проводятся какое-то ограниченное количество раз и поэтому для оценки точности измерений используют приближённую оценку среднего квадратического отклонения, которую называют среднеквадратической погрешностью (СКП).

Гауссом была предложена формула среднеквадратической погрешности:

?2ср = (?21 + ?22 +… +?2n) / n,

?2 = m2 = (?21 + ?22 +… +?2n) / n,

? = m,

?ср = m = √(∑?2i / n)

Формула Гаусса применяется, когда погрешности вычислены по истинным значениям.

Формула Бесселя:

m = √(∑V2i / (n-1))

Средняя квадратическая погрешность арифметической середины в Ön раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения

М=m/Ön

При оценке в качестве единицы меры точности используют среднеквадратическую погрешность с весом равным единице. Её называют средней квадратической погрешностью единицы веса.

µ2 = P×m2 – µ = m√P, m = µ / √P, т.е. средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1 (µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P).

При достаточно большом числе измерений можно записать ∑m2P=∑?2P (так как ? = m):

µ = √(∑(?2×P)/n), т.е. средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби, в числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе – число неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины по формуле:

M0 = µ / √∑P

Подставив вместо µ её значение получим :

M0 = √(∑?2×P/n) / (√∑P) = √[(∑?2×P) / n×(∑P)]

M0 = √[ (?12P1 + ?22P2 +… + ?n2Pn) / n×(P1 + P2 + … + Pn) ] – формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель – произведение количества измерений на сумму их весов.

µ = √ [∑( V2×P ) / (n-1)] Это формула Бесселя для вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям. Она справедлива для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит погрешности: mµ = µ / [2×(n-1)] .

Функции по результатам измерений и оценка их точности

В практике геодезических работ искомые величины часто получают в результате вычислений, как функцию измеренных величин. Полученные при этом величины (результаты) будут содержать погрешности, которые зависят от вида функции и от погрешности аргументов, по которым их вычисляют.

При многократном измерении одной и той же величины получим ряд аналогичных соотношений:

?U1 = k?l1

?U2 = k?l2

…………..

?Un = k?ln

Возведём в квадрат обе части всех равенств и сумму разделим на n:

(?U12 + ?U22 + … + ?Un2) / n = k2×(?l12 + ?l22 + … + ?ln2) / n;

∑?U2 / n = k2×(∑?l2 / n);

m = √(∑?U2 / n);

m2 = k2 × ml2,

где ml – СКП дальномерного отсчёта.

m = k × ml.

СКП функции произведения постоянной величины на аргумент равна произведению постоянной величины на СКП аргумента.

Например, дана функция вида U = l1 + l2. Определить СКП U, где l1 и l2 – независимые слагаемые со случайными погрешностями ?l1 и ?l2. Тогда сумма U будет содержать погрешность:

?U = ?l1 + ?l2.

Если каждую величину слагаемого измерить n раз, то можно представить:

?U1 = ?l1' + ?l2' – 1-е измерение,

?U2 = ?l1″ + ?l2″ – 2-е измерение,

…………………

?Un = ?l1(n) + ?l2(n) – n-е измерение.

После возведения в квадрат обеих частей каждого равенства почленно их сложим и разделим на n:

∑?U2 / n = (∑?l12)/n + 2×(∑?l1×?l2)/n + (∑?l22)/n.

Так как в удвоенном произведении ?l1 и ?l2 имеют разные знаки, они компенсируются и делим на бесконечно большое число n, то можно пренебречь удвоенным произведением.

mU2 = ml12 + ml22;

mU = √( ml12 + ml22 ).

СКП суммы двух измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП слагаемых.

Если слагаемые имеют одинаковую СКП, то:

ml1 = ml2 = m;

mU = √(m2 + m2) = √2m2 = m√2.

В общем случае:

mU = m√n,

где n – количество аргументов l.

Если дана функция вида U = l1 – l2 , то:

mU = m√n;

mU = √( ml12 + ml22)

СКП разности двух измерений величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП уменьшаемого и вычитаемого.

Если функция вида U = l1 – l2 + l3, то:

mU = √( ml12 + ml22 + ml32…)

СКП суммы n измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП всех слагаемых.

Для линейной функции вида U = k1l1 + k2l2 + … + knln:

mU = √[ (k1ml1)2 + (k2ml2)2 + … + (knmln)2],

т.е. СКП алгебраической суммы произведений постоянной величины на аргумент равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянной величины на СКП соответствующего аргумента.

Функция общего вида U = ƒ( l1, l2, …, ln).

Это наиболее общий случай математической зависимости, включающий все рассматриваемые выше функции, являющиеся частным случаем. Это значит, что аргументы l1, l2, …, ln могут быть заданы любыми уравнениями. Для определения СКП такой сложной функции необходимо проделать следующее:

1. Найти полный дифференциал функции:

dU = (dƒ/dl1)×dl1 + (dƒ/dl2)×dl2 + … + (dƒ/dln)×dln,

где (dƒ/dl1), (dƒ/dl2), …,(dƒ/dln) – частные производные функции по каждому из аргументов.

2. Заменить дифференциалы квадратами соответствующих СКП, вводя в квадрат коэффициенты при этих дифференциалах:

mU2 = (dƒ/dl1)2×ml12 + (dƒ/dl2)2×ml22 + … +(dƒ/dln)2×mln2

3. Вычислить значения частных производных по значениям аргументов:

(dƒ/dl1), (dƒ/dl2), …,(dƒ/dln)

И тогда

mU = √[ (dƒ/dl1)2× ml12 + (dƒ/dl2)2×ml22 + … +(dƒ/dln)2×mln2]

СКП функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на СКП соответствующего аргумента

Оценка точности по разностям двойных измерений

и по невязкам в полигонах и ходах

В практике геодезических работ часто одну и ту же величину измеряют дважды. Например, стороны теодолитного хода в прямом и обратном направлении, углы двумя полуприемами, превышения – по черной и красной стороне рейки. Чем точнее произведены измерения, тем лучше сходимость результатов в каждой паре.

mlср. = ½ √∑d2/n,

где d – разности в каждой паре;

n – количество разностей.

Формула Бесселя:

mlср = ½ √∑d2/n-1

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию, например, сумма внутренних углов треугольника должна быть 180?, то точность измерений можно определить по невязкам получающимся в результате погрешностей измерений.

μ=√∑ [f2 /n]/N,

где – СКП одного угла;

f – невязка в полигоне;

N – количество полигонов;

n – количество углов в полигоне.

Источник: https://studopedia.ru/15_84922_pogreshnosti-geodezicheskih-izmereniy-teoriya-i-reshenie-zadach.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.