Относительная погрешность в геодезии

Оценка точности геодезических измерений

Относительная погрешность в геодезии

Лекция 3.

Оценка точности геодезических измерений.

1. Виды измерений.

Виды погрешностей измерений.

Свойства случайных погрешностей.

2. Меры точности равноточных измерений.

Арифметическая середина и оценка её точности.

Средние квадратические погрешности функций измеренных величин.

3. Неравноточные измерения.

Виды измерений.

Измерить какую-либо величину —значит сравнить её с однородной ей величиной, принятой за единицу меры.

Результат измерений есть число, показывающее, сколько раз единица меры содержится в измеряемой величине, при этом число может быть целым и дробным.

Виды измерений:

– прямые и косвенные;

– необходимые и избыточные;

– равноточные и неравноточные.

Прямые – если измеряется непосредственно какая-либо величина; искомый результат получается прямо из измерений.

Косвенные —если значение искомой величины, находится вычислением на основании непосредственно измеренных величин.

Необходимые —измерения, дающие одно значение измеряемой величины.

Бесконтрольное измерение

Избыточные —все n измерений одной величины, кроме одного, т.е. п-1.

Избыточные измерения не следует смешивать с понятием «излишние измерения» они обязательны.

Необходимы для контроля измерений и повышения надёжности значения искомой величины.

Равноточные —измерения, выполненные в одинаковых условиях, а поэтому имеют практически одинаковую точность.

Условия:

– прибор

– способ измерения

– число измерений (приёмов)

– квалификация наблюдателя

– внешние условия.

Неравноточные —измерения, выполненные в одинаковых условиях, а поэтому имеющие
разную точность.

Виды погрешностей измерений.

Свойства случайных погрешностей.

Любое измерение сопровождается погрешностью.

Погрешность результата измерений —это разность между измеренным и истинным (точным) значением определяемой величины.

(это разность между тем, что есть и тем, что должно быть).

Виды погрешностей:

– грубые;

– систематические;

– случайные.

Грубые —погрешности, величина которых совершенно недопустима при данных условиях измерений.

Возникают вследствие просчётов, промахов, например:

– просчёт количества отложений мерной ленты при измерении расстояний;
– просчёт в снятии отсчёта по лимбу теодолита в 1,10″;

– просчёт при покупках на 1, 10 руб.

Грубые ошибки выявляются и устраняются избыточными измерениями.

Систематические

– погрешности, которые входят в каждый результат по определённому закону.

Могут подразделяться на:

– постоянные по знаку и величине;

– переменные по знаку и величине.

Примеры:

— измеряется расстояние (линия L) лентой длиной L=20м., которой больше или меньше на величину ;

Конечный результат измерения будет отличаться на величину.

где L –длина линии.

– длина ленты проверялась при температуре ,а измерения проводятся при температуре t. Результат измерений будет содержать погрешность пропорциональную разности температур и длине линии.

Причины появления систематических ошибок необходимо изучать в каждом отдельном случае. Влияние их на результат измерения должен исключаться или сводится к минимуму путём введения поправок в результат измерения.

Случайные —погрешности, возникновение которых не удаётся подчинить определённым законом.

Случайные погрешности неизбежны.

Источники случайных ошибок:

– прибор

– наблюдатель

– внешние условия.

Уменьшение влияния случайных ошибок может быть достигнуто совершенствованием приборов, повышением квалификации.

Обозначения:

– точное (истинное) значение величин Х

– измеренное значение величин l

– случайная погрешность

или

Если l>Х то (+ ), если l

Источник: https://infopedia.su/8xcb72.html

3. Погрешности геодезических измерений (теория и решение задач)

Относительная погрешность в геодезии

Измерением называетсяпроцесс сравнения некоторой физическойвеличины с другой одноименной величиной,принятой за единицу меры.

Единицамеры значениефизической величины, принятой дляколичественной оценки величины тогоже рода.

Результат измерений– это число, равное отношению измеряемойвеличины единицы меры.

Различают следующиевиды геодезических измерений:

1.  Линейные, врезультате, которых получают наклонныеиррациональные расстояния междузаданными точками. Для этой цели применяютленты, рулетки, проволоки, оптическиесвето- и радиодальномеры.

2.  Угловые,определяющие величины горизонтальныхуглов. Для выполнения таких измеренийприменяют теодолит, буссоли, эклиметры.

3.  Высотные, врезультате, которых получают разностивысот отдельных точек. Для этой целиприменяют нивелиры, теодолиты-тахеометры,барометры.

Различают два методагеодезических измерений: непосредственныеи посредственные (косвенные).

Непосредственные измерения,при которых определяемые величиныполучают в результате непосредственногосравнения с единицей измерения.

Косвенныеизмерения,при которых определяемые величиныполучаются как функции другихнепосредственно измеренных величин.

Процесс измерениявключает:

·  Объект – свойствакоторого, например, размер характеризуютрезультат измерения.

·  Техническоесредство – получать результат в заданныхединицах.

·  Метод измерений– обусловлен теорией практическихдействий и приёмов технических средств.

·  Исполнительизмерений – регистрирующее устройство

·  Внешняя среда,в которой происходит процесс измерений.

Измеренияразличают равноточные и неравноточные.Равноточные – это результаты измеренийоднородных величин, выполняемые спомощью приборов одного класса, одними тем же методом, одним исполнителемпри одних и тех же условиях. Если хотябы один из элементов, составляющийсовокупность, меняется, то результатизмерений неравноточный.

3.2 Классификация погрешностей геодезических измерений. Средняя квадратическая погрешность. Формы Гаусса и Бесселя для её вычисления

Геодезическиеизмерения, выполняемые даже в оченьхороших условиях, сопровождаютсяпогрешностями, т.е. отклонение результатаизмерений L от истинного значения Хнумеруемой величины:

∆ = L-X

Истинное–такое значение измеряемой величины,которое идеальным образом отражало быколичественные свойства объекта.Недостижимое условие – истинное значение– понятие гипотетическое. Это величина,к которой можно приближаться бесконечноблизко, оно не достижимо.

Точностьизмерений – степень приближения егорезультата к истинному значению. Чемниже погрешность, тем выше точность.

Абсолютнаяпогрешность выражаетсяразностью значения, полученного врезультате измерения и истинногоизмерения величины. Например, истинноезначение l = 100 м, однако, при измеренииэтой же линии получен результат 100,05 м,тогда абсолютная погрешность:

E=XизмX

E = 100,05 – 100 = 0,05 (м)

Чтобыполучить значение достаточно произвестиодно измерение. Его называют необходимым,но чаще одним измерением не ограничиваются,а повторяют не менее двух раз. Измерения,которые делают сверх необходимого,называют избыточными (добавочными),они являются весьма важным средствомконтроля результата измерения.

Абсолютная погрешностьне даёт представления о точностиполученного результата. Например,погрешность в 0,06 м может быть полученапри измерении l = 100 м или l = 1000 м. Поэтомувычисляют относительную погрешность:

C=Eср/X

C = 0,06 / 100 = 1/1667, т.е на1667 м измеряемой l допущена погрешностьв 1 метр.

Относительнаяпогрешность –отношение абсолютной погрешности кистинному или измеренному значению.Выражают дробью. По инструкции линияместности должна быть измерена не грубее1/1000.

Погрешности,происходящие от отдельных факторов,называются элементарными. Погрешностьобобщенная–это сумма элементарных.

Возникают:

·  грубые (Q),

·  систематические(O),

·  случайные (∆).

Грубые погрешностиизмерений возникают в результате грубыхпромахов, просчётов исполнителя, егоневнимательности, незамеченныхнеисправностях технических средств.Грубые погрешности совершенно недопустимыи должны быть полностью исключены изрезультатов измерений путем проведенияповторных, дополнительных измерений.

Систематические погрешностиизмерений – постоянная составляющая,связанная с дефектами: зрение, неисправностьтехнических средств, температура.Систематические погрешности могут бытькак одностороннего действия, так ипеременного (периодические погрешности).Их стремятся по возможности учесть илиисключить из результатов измерений приорганизации и проведении работ.

Случайные погрешностиизмерений неизбежно сопутствуют всемизмерениям. Погрешности случайныеисключить нельзя, но можно ослабить ихвлияние на искомый результат за счетпроведения дополнительных измерений.Это самые коварные погрешности,сопутствующие всем измерениям. Могутбыть разные как по величине, так и познаку.

E = Q + O +∆

Если грубые исистематические погрешности могут бытьизучены и исключены из результатаизмерений, то случайные могут бытьучтены на основе глубокого измерения.Изучение на основе теории вероятностей.

На практикесложность заключается в том, что измеренияпроводятся какое-то ограниченноеколичество раз и поэтому для оценкиточности измерений используют приближённуюоценку среднего квадратическогоотклонения, которую называют среднеквадратическойпогрешностью (СКП).

Гауссом была предложенаформула среднеквадратической погрешности:

∆2ср =(∆21 +∆22 +…+∆2n)/ n,

∆2 =m2 =(∆21 +∆22 +…+∆2n)/ n,

∆ = m,

ср=m=√(∑∆2i/n)

Формула применяется,когда погрешности вычислены по истиннымзначениям.

Формула Бесселя:

m=√(∑V2i/(n-1))

Средняя квадратическаяпогрешность арифметической серединыв Ön раз меньше средней квадратическойпогрешности отдельного измерения

М=m/Ön

При оценке в качествеединицы меры точности используютсреднеквадратическую погрешность свесом равным единице. Её называют среднейквадратической погрешностью единицывеса.

µ2=P×m2 –µ = m√P, m = µ / √P, т.е. средняя квадратическаяпогрешность любого результата измеренияравна погрешности измерения с весом 1(µ) и делённая на корень квадратный извеса этого результата (P).

Придостаточно большом числе измеренийможно записать ∑m2P=∑∆2P(так как ∆ = m):

µ =√(∑(∆2×P)/n),т.е. средняя квадратическая погрешностьизмерения с весом, равным 1 равна корнюквадратному из дроби в числителе которогосумма произведений квадратов абсолютныхпогрешностей неравноточных измеренийна их веса, а в знаменателе – числонеравноточных измерений.

Средняя квадратическаяпогрешность общей арифметическойсередины по формуле:

M0=µ / √∑P

Подставив вместо µеё значение получим :

M0 =√(∑∆2×P/n)/ (√∑P) = √[(∑∆2×P)/ n×(∑P)]

M0=√[ (∆12P1+∆22P2+…+ ∆n2Pn)/n×(P1+P2+… +Pn)] –формулаГаусса,средняя квадратическая погрешностьобщей арифметической середины равнакорню квадратному из дроби, в числителекоторой сумма произведений квадратовпогрешностей неравноточных измеренийна их веса, а знаменатель – произведениеколичества измерений на сумму их весов.

µ = √[∑(V2×P)/ (n-1)] Это формулаБесселя длявычисления средней арифметическойпогрешности с измерением веса, равным1 для ряда неравноточных измерений поих вероятнейшим погрешностям. Онасправедлива для большого ряда измерений,а для ограниченного (часто на практике)содержит погрешности: mµ =µ / [2×(n-1)] – это надёжность оценки µ.

Контрольная задача1

Для исследованиятеодолита им был многократно измеренодин и тот же угол. Результаты оказалисьследующими: 39˚17.4'; 39˚16.8'; 39˚16.6'; 39˚16.2';39˚15.5'; 39˚15.8'; 39˚16.3'; 39˚16.2'.

Тот же угол былизмерен высокоточным угломернымприбором, что дало результат 39˚16'42″.Приняв это значение за точное, вычислитьсреднюю квадратическую погрешность,определить надёжность СКП, найтипредельную погрешность.

Решение:

№ измеренияРезультаты измерений, lПогрешности∆ = l-X∆2
139˚17.4'+0.7'0.49
2 16.8+0.10.01
3 16.6-0.10.01
4 16.2-0.50.25
5 15.5-1.21.44
6 15.8-0.90.81
7 16.3-0.40.16
8 16.2-0.50.25
Сумма3.42

39˚16'42″ = 39˚16.7'

Средняяквадратическая погрешность: m=√([∆2]/n),

m = √(3.42/8) = 0.65'.

Оценканадёжности СКП: mm=m/√2n,

mm =0.65 / √16=0.1625≈0.16'.

Предельнаяпогрешность: пр=3×m,

∆пр =3×0.65' = 1.96'

Контрольная задача2

Дана совокупностьневязок треугольников триангуляцииобъёмом 50 единиц. Считая невязки истиннымипогрешностями, вычислить среднююквадратическую погрешность и произвестинадёжность СКП, вычислить предельнуюпогрешность. На данной совокупностипроверить свойство случайных погрешностей:

Lim[∆] / n =0, для чеговычислить W = [W] / n.

NWNWNWNWNW
1+1,0211-1,7221-0,9031+2,8041-0,44
2+0,4112+1,2922+1,2232-0,8142-0,28
3+0,0213-1,8123-1,8433+1,0443-0,75
4-1,8814-0,0824-0,4434+0,4244-0,80
5-1,4415-0,5025+0,1835+0,6845-0,95
6-0,2516-1,8926-0,0836+0,5546-0,58
7+0,1217+0,7227-1,1137+0,2247+1,60
8+0,2218+0,2428+2,5138+1,6748+1,85
9-1,0519-0,1329-1,1639+0,1149+2,22
10+0,5620+0,5930+1,6540+2,0850-2,59

Решение:

W=[W] /n,W = +2,51 / 50 = 0,05

Среднююквадратическую погрешность в данномслучае целесообразно вычислять поформуле: m=√( [W2]– [W]2/n)÷ (n-1),

m = √(76,5703 – (2,512)/50)÷ 49 = 1,249

Оценкунадёжности СКП по формуле: mm=m/√2(n-1),

mm =1,249/ √(2×49) = 0,13.

Предельнаяпогрешность по формуле: пр=3×m,

∆пр =3×1,249= 3,747.

Источник: https://studfile.net/preview/7218856/

Тема: Элементы теории ошибок измерений

Относительная погрешность в геодезии

_______Измерения в геодезии рассматриваются с двух точек зрения: количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной, характеризующейее точность.

Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых результатов.

Это указывает нато, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Значение отклонения характеризует точность измерений.

_______При геодезических измерениях неизбежны ошибки. Эти ошибки бывают грубые,систематические и случайные.

_______ К грубым ошибкам относятся просчеты в измерениях по причине невнимательности наблюдателя или неисправности прибора, и они полностью должны быть исключены. Это достигается путем повторного измерения.

_______Систематические ошибки происходят от известного источника, имеют определенный знак и величину и их можно учесть при измерениях и вычислениях.

_______Случайные ошибки обусловлены разными причинами и полностью исключить их из измерений нельзя. Поэтому возникают две задачи: как из результатов измерений получить наиболее точную величину и как оценить точность полученных результатов измерений. Эти задачи решаются с помощью теории ошибок измерений_______

_______В основу теории ошибок положены следующие свойства случайных ошибок:
_______1. Малые ошибки встречаются чаще, а большие реже.
_______2. Ошибки не превышают известного предела.
_______3.

Положительные и отрицательные ошибки, одинаковые по абсолютной величине, одинаково часто встречаются.
_______4. Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при большом числеизмерений.

_______По источнику происхождения различают ошибки приборов, внешние и личные. Ошибки приборов обусловлены их несовершенством, например погрешность угла, измеренного теодолитом, неточным приведением в вертикальное положение оси его вращения.

_______Внешние ошибки происходят из-за влияния внешней среды, в которой протекают измерения, например погрешность в отсчете по нивелирной рейке из-за изменения температуры воздуха на пути светового луча (рефракция) или нагрева нивелира солнечными лучами.

_______Личные ошибки связаны с особенностями наблюдателя, например, разные наблюдатели по-разному наводят зрительную трубу на визирную цель.

Так как грубые погрешности должны быть исключены из результатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необходимой точностью и оценку результатов выполненных измерений производят, основываясь на свойствах случайных погрешностей.

2. Арифметическая середина

_______Если одна величина измерена n раз и получены результаты: l1, l2, l3, l4, l5, l6,….., ln, то

_______Величина x называется арифметической серединой или вероятнейшим значением измеренной величины. Разности между каждым измерением и арифметической срединой называют вероятнейшими ошибками измерений:

_______Или в общем виде получим:

[ l ] – n x x = [v] (3)

_______Тогда

[v] = 0

3. Средняя квадратическая ошибка

_______Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле:

где [v2] – сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений. Средняя квадратическая ошибка арифметической середины вычисляется по формуле:

_______Предельная ошибка не должна превышать утроенной средней квадратической ошибки, т.е. ε = 3 x m.

_______Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной ошибки.___

_______Относительной ошибкой называется отношение абсолютной ошибки к значению самой измеренной величины. Относительную ошибку выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешностьизмерения линии длиной:

_______l = 110 м, при m = 2 см, равна m/l = 1/5500.

_______Пример:

_______Линия измерена шесть раз. Определить ее вероятнейшую длину и оценить точность этого результата. Вычисления приведены в таблице:

Таб. 1

_______По формулам вычислены абсолютные средние квадратические ошибки, а оценивать точность измерения длины линии необходимо по относительной ошибке. Поэтому нужно абсолютную ошибку разделить на длину линии. Для нашего примера относительнаяошибка вероятнейшего значения измеренной линии равна

4. Оценка точности измерений

_______Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности:

_______1. Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение измеренной величины по формуле арифметической середины х = [l]/n.
_______2. Вычисляют отклонения для каждого значения измеренной величины от значения арифметической средины. Контроль вычислений: [v] = 0;
_______3.

По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку одного измерения.
_______4. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку арифметической средины.
_______5.

Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную среднюю квадратическую ошибку каждого измерения и арифметической средины.

_______6. При необходимости подсчитывают предельную ошибку одного измерения, которая может служить допустимым значением погрешностей аналогичных измерений.

5. Понятие о неравноточных измерениях

_______Неравноточными измерениями называются такие, которые выполнены различным числом приемов, приборами различной точности и т.д. Если измерения неодинаковой точности, то для определения общей арифметической середины пользуются формулой:

где p1, p2, p3, ……..pn – соответствующие веса неравноточных измерений l1, l2, l3,……. l n

________Весом называется число, которое выражает степень доверия к результату измерения. В тех случаях, когда неизвестны веса измеренных величин, а известны их средние квадратические ошибки, то веса можно вычислить по формуле:

т.е. вес результата измерений обратно пропорционален квадрату средней квадратической ошибки. _______При неравноточных измерениях средняя квадратическая ошибка измерения, вескоторого равен единице, определяется по формуле:

где δ – разность между отдельными результатами измерений и общей арифметической серединой.

 

   Инструкция по прохождению теста

  • Выберите один из вариантов в каждом из 10 вопросов;
  • Нажмите на кнопку “Показать результат”;
  • Скрипт не покажет результат, пока Вы не ответите на все вопросы;
  • Загляните в окно рядом с номером задания. Если ответ правильный, то там (+). Если Вы ошиблись, там (-).
  • За каждый правильный ответ начисляется 1 балл;
  • Оценки: менее 5 баллов – НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО, от 5 но менее 7.5 – УДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНО, 7.5 и менее 10 – ХОРОШО, 10 – ОТЛИЧНО;
  • Чтобы сбросить результат тестирования, нажать кнопку “Сбросить ответы”;

Источник: http://geo-s.sibstrin.ru/lec/lec3/lec.html

Погрешности геодезических измерений (теория и решение задач)

Относительная погрешность в геодезии

Геодезическое измерение, результат измерения, методы и условия измерений. Равноточные и неравноточные измерения

Измерением называется процесс сравнения некоторой физической величины с другой одноименной величиной, принятой за единицу меры.

Единица меры – значение физической величины, принятой для количественной оценки величины того же рода.

Результат измерений – это число, равное отношению измеряемой величины единицы меры.

Различают следующие виды геодезических измерений:

1. Линейные, в результате, которых получают наклонные иррациональные расстояния между заданными точками. Для этой цели применяют ленты, рулетки, проволоки, оптические свето- и радиодальномеры.

2. Угловые, определяющие величины горизонтальных углов. Для выполнения таких измерений применяют теодолит, буссоли, эклиметры.

3. Высотные, в результате, которых получают разности высот отдельных точек. Для этой цели применяют нивелиры, теодолиты-тахеометры, барометры.

Различают два метода геодезических измерений: непосредственные и посредственные (косвенные).

Непосредственные – измерения, при которых определяемые величины получают в результате непосредственного сравнения с единицей измерения.

Косвенные – измерения, при которых определяемые величины получаются как функции других непосредственно измеренных величин.

Процесс измерения включает:

· Объект – свойства которого, например, размер характеризуют результат измерения.

· Техническое средство – получать результат в заданных единицах.

· Метод измерений – обусловлен теорией практических действий и приёмов технических средств.

· Исполнитель измерений – регистрирующее устройство.

· Внешняя среда, в которой происходит процесс измерений.

Совокупность этих элементов, взаимодействуя между собой, образуют условия измерений, которые определяют окончательный результат и его точность. Если измерения происходят в одних и тех же условиях, то их результат называется равноточным. Если хотя бы один из элементов, составляющий совокупность, меняется, то результат измерений неравноточный.

Классификация погрешностей геодезических измерений.

Средняя квадратическая погрешность.

Формулы Гаусса и Бесселя для ее вычисления

Геодезические измерения, выполняемые даже в очень хороших условиях, сопровождаются погрешностями, т.е. отклонением результата измерений L от истинного значения Х нумеруемой величины:

? = L-X

Истинное – такое значение измеряемой величины, которое идеальным образом отражало бы количественные свойства объекта. Истинное значение – это понятие гипотетическое, в реальности его достичь невозможно. Это величина, к которой можно приближаться бесконечно близко.

Точность измерений – степень приближения его результата к истинному значению. Чем ниже погрешность, тем выше точность.

Погрешности бывают следующих видов:

Абсолютная погрешность выражается разностью значения, полученного в результате измерения и истинного измерения величины. Например, истинное значение l = 100 м, однако, при измерении этой же линии получен результат 100,05 м, тогда абсолютная погрешность:

E = Xизм – X

E = 100,05 – 100 = 0,05 (м)

Чтобы получить значение достаточно произвести одно измерение. Его называют необходимым, но чаще одним измерением не ограничиваются, а повторяют не менее двух раз. Измерения, которые делают сверх необходимого, называют избыточными (добавочными), они являются весьма важным средством контроля результата измерения.

Абсолютная погрешность не даёт представления о точности полученного результата. Например, погрешность в 0,06 м может быть получена при измерении l = 100 м или l = 1000 м. Поэтому вычисляют относительную погрешность:

C = Eср / X

C = 0,06 / 100 = 1/1667, т.е на 1667 м измеряемой величины допущена погрешность в 1 метр.

Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к истинному или измеренному значению. Выражают дробью. По инструкции линия местности должна быть измерена не грубее 1/1000.

Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Погрешность обобщенная (Е)– это сумма элементарных.

Возникают:

· грубые (Q),

· систематические (O),

· случайные (?).

Грубые погрешности измерений возникают в результате грубых промахов, просчётов исполнителя, его невнимательности, незамеченных неисправностях технических средств. Грубые погрешности совершенно недопустимы и должны быть полностью исключены из результатов измерений путем проведения повторных, дополнительных измерений.

Систематические погрешности измерений – постоянная составляющая, связанная с дефектами: зрение, неисправность технических средств, температура. Систематические погрешности могут быть как одностороннего действия, так и переменного (периодические погрешности). Их стремятся по возможности учесть или исключить из результатов измерений при организации и проведении работ.

Случайные погрешности измерений неизбежно сопутствуют всем измерениям. Погрешности случайные исключить нельзя, но можно ослабить их влияние на искомый результат за счет проведения дополнительных измерений. Это самые коварные погрешности, сопутствующие всем измерениям. Они могут быть разные как по величине, так и по знаку.

E = Q + O +?

Если грубые и систематические погрешности могут быть изучены и исключены из результата измерений, то случайные могут быть учтены на основе глубокого измерения. Изучение на основе теории вероятностей.

На практике сложность заключается в том, что измерения проводятся какое-то ограниченное количество раз и поэтому для оценки точности измерений используют приближённую оценку среднего квадратического отклонения, которую называют среднеквадратической погрешностью (СКП).

Гауссом была предложена формула среднеквадратической погрешности:

?2ср = (?21 + ?22 +… +?2n) / n,

?2 = m2 = (?21 + ?22 +… +?2n) / n,

? = m,

?ср = m = √(∑?2i / n)

Формула Гаусса применяется, когда погрешности вычислены по истинным значениям.

Формула Бесселя:

m = √(∑V2i / (n-1))

Средняя квадратическая погрешность арифметической середины в Ön раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения

М=m/Ön

При оценке в качестве единицы меры точности используют среднеквадратическую погрешность с весом равным единице. Её называют средней квадратической погрешностью единицы веса.

µ2 = P×m2 – µ = m√P, m = µ / √P, т.е. средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1 (µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P).

При достаточно большом числе измерений можно записать ∑m2P=∑?2P (так как ? = m):

µ = √(∑(?2×P)/n), т.е. средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби, в числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе – число неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины по формуле:

M0 = µ / √∑P

Подставив вместо µ её значение получим :

M0 = √(∑?2×P/n) / (√∑P) = √[(∑?2×P) / n×(∑P)]

M0 = √[ (?12P1 + ?22P2 +… + ?n2Pn) / n×(P1 + P2 + … + Pn) ] – формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель – произведение количества измерений на сумму их весов.

µ = √ [∑( V2×P ) / (n-1)] Это формула Бесселя для вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям. Она справедлива для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит погрешности: mµ = µ / [2×(n-1)] .

Функции по результатам измерений и оценка их точности

В практике геодезических работ искомые величины часто получают в результате вычислений, как функцию измеренных величин. Полученные при этом величины (результаты) будут содержать погрешности, которые зависят от вида функции и от погрешности аргументов, по которым их вычисляют.

При многократном измерении одной и той же величины получим ряд аналогичных соотношений:

?U1 = k?l1

?U2 = k?l2

…………..

?Un = k?ln

Возведём в квадрат обе части всех равенств и сумму разделим на n:

(?U12 + ?U22 + … + ?Un2) / n = k2×(?l12 + ?l22 + … + ?ln2) / n;

∑?U2 / n = k2×(∑?l2 / n);

m = √(∑?U2 / n);

m2 = k2 × ml2,

где ml – СКП дальномерного отсчёта.

m = k × ml.

СКП функции произведения постоянной величины на аргумент равна произведению постоянной величины на СКП аргумента.

Например, дана функция вида U = l1 + l2. Определить СКП U, где l1 и l2 – независимые слагаемые со случайными погрешностями ?l1 и ?l2. Тогда сумма U будет содержать погрешность:

?U = ?l1 + ?l2.

Если каждую величину слагаемого измерить n раз, то можно представить:

?U1 = ?l1' + ?l2' – 1-е измерение,

?U2 = ?l1″ + ?l2″ – 2-е измерение,

…………………

?Un = ?l1(n) + ?l2(n) – n-е измерение.

После возведения в квадрат обеих частей каждого равенства почленно их сложим и разделим на n:

∑?U2 / n = (∑?l12)/n + 2×(∑?l1×?l2)/n + (∑?l22)/n.

Так как в удвоенном произведении ?l1 и ?l2 имеют разные знаки, они компенсируются и делим на бесконечно большое число n, то можно пренебречь удвоенным произведением.

mU2 = ml12 + ml22;

mU = √( ml12 + ml22 ).

СКП суммы двух измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП слагаемых.

Если слагаемые имеют одинаковую СКП, то:

ml1 = ml2 = m;

mU = √(m2 + m2) = √2m2 = m√2.

В общем случае:

mU = m√n,

где n – количество аргументов l.

Если дана функция вида U = l1 – l2 , то:

mU = m√n;

mU = √( ml12 + ml22)

СКП разности двух измерений величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП уменьшаемого и вычитаемого.

Если функция вида U = l1 – l2 + l3, то:

mU = √( ml12 + ml22 + ml32…)

СКП суммы n измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП всех слагаемых.

Для линейной функции вида U = k1l1 + k2l2 + … + knln:

mU = √[ (k1ml1)2 + (k2ml2)2 + … + (knmln)2],

т.е. СКП алгебраической суммы произведений постоянной величины на аргумент равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянной величины на СКП соответствующего аргумента.

Функция общего вида U = ƒ( l1, l2, …, ln).

Это наиболее общий случай математической зависимости, включающий все рассматриваемые выше функции, являющиеся частным случаем. Это значит, что аргументы l1, l2, …, ln могут быть заданы любыми уравнениями. Для определения СКП такой сложной функции необходимо проделать следующее:

1. Найти полный дифференциал функции:

dU = (dƒ/dl1)×dl1 + (dƒ/dl2)×dl2 + … + (dƒ/dln)×dln,

где (dƒ/dl1), (dƒ/dl2), …,(dƒ/dln) – частные производные функции по каждому из аргументов.

2. Заменить дифференциалы квадратами соответствующих СКП, вводя в квадрат коэффициенты при этих дифференциалах:

mU2 = (dƒ/dl1)2×ml12 + (dƒ/dl2)2×ml22 + … +(dƒ/dln)2×mln2

3. Вычислить значения частных производных по значениям аргументов:

(dƒ/dl1), (dƒ/dl2), …,(dƒ/dln)

И тогда

mU = √[ (dƒ/dl1)2× ml12 + (dƒ/dl2)2×ml22 + … +(dƒ/dln)2×mln2]

СКП функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на СКП соответствующего аргумента

Оценка точности по разностям двойных измерений

и по невязкам в полигонах и ходах

В практике геодезических работ часто одну и ту же величину измеряют дважды. Например, стороны теодолитного хода в прямом и обратном направлении, углы двумя полуприемами, превышения – по черной и красной стороне рейки. Чем точнее произведены измерения, тем лучше сходимость результатов в каждой паре.

mlср. = ½ √∑d2/n,

где d – разности в каждой паре;

n – количество разностей.

Формула Бесселя:

mlср = ½ √∑d2/n-1

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию, например, сумма внутренних углов треугольника должна быть 180?, то точность измерений можно определить по невязкам получающимся в результате погрешностей измерений.

μ=√∑ [f2 /n]/N,

где – СКП одного угла;

f – невязка в полигоне;

N – количество полигонов;

n – количество углов в полигоне.

Источник: https://studopedia.ru/15_84922_pogreshnosti-geodezicheskih-izmereniy-teoriya-i-reshenie-zadach.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.